Benford Yasası, gerçek hayattan alınan bir sayı kümesinde, ilk rakımı küçük olan sayıların daha yüksek yüzdeyle tekrar ettiğini ve söz konusu ilk rakam arttıkça tekrar yüzdesinin de azaldığını ortaya koyan gözlemdir.

Benford Yasası Nedir?

Benford Yasası, ilk basamak yasası ve Newcomb-Benford yasası gibi farklı isimlerle anılır. Matematiksel bir fenomen gibi gözüken Benford Yasası, sayılardan oluşan bir veri kümesinde sayıların ilk rakamlarının ele alındığında, bu rakamların beklenen belirli bir dağılım oranına sahip olduğunu söyler.

Daha basit bir şekilde izah etmek gerekirse Benford Yasası, ülkelerin nüfus verisi gibi aynı türden sayıların yer aldığı bir veri kümesinde, 1 ile başlayan bir sayıda nüfusa sahip ülke sayısının en fazla olduğunu ve 9’a doğru gidildiğinde bu tekrar sayısının azaldığını ortaya koyar. Bu veri kümesinde dikkate alınan sadece nüfus sayısının ilk basamağıdır. Bir ülkenin nüfusu ister 10.000 olsun ister 100.000 isterse de 1.000.000 milyon olsun, tüm bu ülkeler 1 rakamıyla başlayanlara dahil edilir. Aynı durum diğer rakamlar içinde tekrarlanır ve elde edilen sonuç 1’den 9’a doğru azalan tekrar oranlarının bulunduğu bir grafiktir.

Benford’un çalışmasına göre başlangıç sayısı tam sayı ve olasılık 100’de olarak gösterilirse dağılımın şu şekilde olması beklenir;

1 rakamı %30.1, 2 rakamı %17.6, 3 rakamı %12.5, 4 rakamı %9.7, 5 rakamı %7.9, 6 rakamı %6.7, 7 rakamı %5.8, 8 rakamı %5.1 ve 9 rakamı %4.6 oranında tekrar eder.

Benford Yasası’nı bu kadar ilgi çekici yapan ise herhangi bir veri kümesinde yer alan değerler doğal yollarla oluştuysa yaklaşık olarak bu dağılım oranlarına uyar. Formül olarak ise logaritma 10 tabanında P(n) = log(1 + 1/n) ile ifade edilir.

Benford Yasası Nerelerde Kullanılır?

Benford Yasası farklı alanlardaki verilerin doğruluğunun kontrolü için kullanılabilse de asıl öne çıktığı alan finansal verilerdeki sahteciliğin tespiti için kullanımıdır. Doğal olarak oluşan verilerin bu yasaya uyması beklendiğinden, finansal verilerde tespit edilen bir uyumsuzluk potansiyel sahteciliğin işaretidir. Benford Yasası’na uymaması tek başına bir verinin yanlışlığını ortaya koymaz. Sadece uzmanların dikkatle incelenmesi için bir uyarı işaretidir.

Benford Yasası’nın Keşfi

Benford Yasası olarak bilinen matematiksel ifadenin keşfedilmesi 17. yüzyıla dayanır. Kanadalı-Amerikan astronom ve aynı zamanda matematikçi olan Simon Newcomb (1835 - 1909), 1881 yılında bugün Benford Yasası olarak bilinen durumu keşfetti. Newcomb, astronomi alanında yürüttüğü çalışmaları sırasında, o dönem henüz hesap makineleri keşfedilmediği için hesaplamalarında logaritma kitaplarından faydalanıyordu. Logaritmik hesaplamaların önceden yapılarak listelendiği bu kitaplarda Newcomb’ın ilgisini çeken ise matematiksel olarak hala insanları şaşırtmayı başaran Benford Yasası’nı ortaya koymasına yol açtı. Newcomb, logaritma kitaplarında ilk sayfaların diğer sayfalara oranla çok daha yıprandığını fark etti. Bu durum dikkatini çeken Newcomb, durumu inceleyerek ilk rakamların yer aldığı sayfalarda insanların daha fazla çalıştığını bıraktıkları izlerden ve yol açtıkları yıpranmadan yola çıkarak tespit etti. Buradan yola çıkarak Newcomb, küçük rakamlarla başlayan sayıların daha büyük rakamla başlayanlara kıyasla çok daha fazla kullanıldığını keşfetti. Newcomb’a göre tek bir N rakamının bir sayının ilk basamağı olma olasılığını log(N + 1) - log(N) formülü ile bulunabileceğini önerdi.

Newcomb’un bu çalışmasına karşın söz konusu yasa adını fizikçi Frank Benford’dan almıştır. Fizikçi Frank Benford, 1938 yılında bu matematiksel fenomeni çalışmalarında yeniden ele aldı. Benford yayınladığı çalışmada veri seti olarak nehirlerin uzunluklarını, ABD’nin nüfus rakamlarını, moleküler ağırlıkları, fiziksel sabitleri, sokak adları, ölüm oranları gibi 20 binden fazla değeri söz konusu yasa ile test etti ve çalıştığını ortaya koydu. Bu sebeple bu sav, Benford Yasası veya Benford’un savı olarak adlandırılır.

Benford Yasası’nın hayret verici sonuçlar ortaya koymasının yanı sıra bu kadar önemli bir konuma gelmesinde ise West Virginia Üniversitesi’nde görev yapan Mark Nigrini’nin gerçekleştirdiği çalışmalar yatar. Nigrini, Benford Yasası’nın sahteciliği anlamada aktif bir şekilde kullanılabileceğini ortaya koymuştur. Böylelikle Benford Yasası bugün dahi finansal verilerde hata ve sahteciliğin kontrolü için bakılan kıstaslardan biridir.